Question

已知平面區域（含邊界，上半部分為半圓，下半部分為矩形）如圖，動點A（x，y）在該平面區域內，已知A（-3，0），C（-1，-1）．
（1）求x+y的最大值和最小值；
（2）求

y

x-1

的取值范圍；
（3）求x²+y²-2x-2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由圖象分析，（1）x+y可轉化為截距；（2）

y

x-1

表示斜率（3）x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²，表示可行域內的動點P（x，y）與定點N（1，1）距離的平方，結合圖形易得其最值．

解答：解：由題意結合圖象
（1）設x+y=b，故y=-x+b，字母b為斜率為-1的直線的截距，由圖可知：
當直線（黑色）過點B（-3，-1）時，截距最小，即x+y取最小值-3+（-1）=-4，
當直線與半圓相切時，截距最大，即x+y取最大值，
由直線和圓相切可得圓心O′（-2，0）到直線x+y=b的距離

|-2-b|

2

=1，（圓的半徑為1），
可解得b=-2+

2

，或b=-2-

2

（由圖象可知不和題意，故舍去），
故求x+y的最大值和最小值分別為-2+

2

，-4；
（2）設k=

y

x-1

，則k表示可行域內動點P（x，y）與定點M（1，0）連線的斜率，…（5分）
由直線kx-y-k=0得，

|3k|

k2+1

=1得k=±

2

4

，知k≥-

2

4

，…（6分）
又kMC=

1

2

，…（7分）
故k∈[-

2

4

，

1

2

]；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
（3）設t=x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²，表示可行域內的動點P（x，y）與定點N（1，1）距離的平方，
由距離公式可得|NO^′|=

(1+2)2+(1-0)2

=

10

，故t_min=(

10

-1)2=11-2

10

，
由圖可知點B到N的距離最大，|NB|=

(1+3)2+(1+1)2

=

20

，故t_max=20　　　　　　　　　　…（12分）

點評：本題考查線性規劃問題，利用幾何意義來求解是解決問題的關鍵，屬中檔題．