Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且B（-1，-3）．
（Ⅰ）求橢圓C和直線l的方程；
（Ⅱ）記曲線C在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D．若曲線x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與D有公共點，試求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率求得a和b的關系，把點B代入橢圓的方程，聯立方程求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）把圓的方程整理成標準方程求得圓心和半徑，進而利用圖象可知只須考慮m＜0的情形．設出圓與直線的切點，利用點到直線的距離求得m，進而可求得過點G與直線l垂直的直線的方程，把兩直線方程聯立求得T，因為區域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點T∉D，由圖可知當⊙G過點B時，m取得最小值，利用兩點間的距離公式求得m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由離心率e=

6

3

，得

a2-b2

a

=

6

3

，即a²=3b²．①
又點B（-1，-3）在橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1上，即

(-3)2

a2

+

(-1)2

b2

=1．②
解①②得a²=12，b²=4，
故所求橢圓方程為

y2

12

+

x2

4

=1．
由A（2，0），B（-1，-3）得直線l的方程為y=x-2．
（Ⅱ）曲線x²-2mx+y²+4y+m²-4=0，
即圓（x-m）²+（y+2）²=8，其圓心坐標為G（m，-2），半徑r=2

2

，
表示圓心在直線y=-2上，半徑為2

2

的動圓．
由于要求實數m的最小值，由圖可知，只須考慮m＜0的情形．
設⊙G與直線l相切于點T，則由

|m+2-2|

2

=2

2

，得m=±4，
當m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l'的方程為x+y+6=0，
解方程組

x+y+6=0 x-y-2=0

，得T（-2，-4）．
因為區域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，
所以切點T∉D，由圖可知當⊙G過點B時，m取得最小值，
即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得mmin=-

7

-1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了知識的綜合運用和數形結合的方法的應用．