Question

【題目】在某城市街道上一側路邊邊緣某處安裝路燈，路寬為米，燈桿長4米，且與燈柱成角，路燈采用可旋轉燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線與燈的邊緣光線(如圖， )都成角，當燈罩軸線與燈桿垂直時，燈罩軸線正好通過的中點．

（I）求燈柱的高為多少米;

（II）設，且，求燈所照射路面寬度的最小值．

Answer 1

【答案】（I）（II）

【解析】試題分析：（1）連接， 設，則，在直角與直角中，根據直角三角形的性質可得，解得 ，從而可得；（2）以為坐標原點， ， 分別為軸，建立直角坐標系，可求出， ，所以，切化弦后利用兩角和與差的正弦公式以及輔助角公式可得，結合，可得到取最小值.

試題解析：（1）連接， 設，則，

在直角中， ，

在直角中， ，

則有，解得 ，

在直角中， .

（2）以為坐標原點， ， 分別為軸，建立直角坐標系，則

，又

①若，由（1）知，

②若，

則直線的方程為，則；

直線的方程為，則；

所以

==

又，所以當且僅當時， 取最小值；

綜合①②知，當時， 取最小值.