Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.

（Ⅰ）若方程在內(nèi)存在唯一的根，求出的值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得，求出、的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點(diǎn)存在定理，即可判斷存在；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得的解析式，通過的最大值，即可得到所求.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，

又所以．

設(shè)

顯然當(dāng)時(shí)， ．

又所以存在，使

因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí)， ，

又顯然當(dāng)時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增．

所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，

且時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以．

當(dāng)時(shí)，若

若由

可知故

當(dāng)時(shí)，由

可得時(shí)， 單調(diào)遞增；

時(shí)， 單調(diào)遞減．

可知

且．綜上可得：函數(shù)的最大值為．