【題目】在三棱柱
中，底面
是以
為斜邊的等腰直角三角形，側面
是菱形且與底面
垂直，
，點
是
中點，點
是
上靠近
點的三等分點.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
交
交于
，連接
，通過證明
//
，即可得證線面平行；
（2）以
中點
，建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，通過向量法即可求得二面角的余弦值.
（1）連接，交于點，連接.
因為
，所以
,
又因為
，所以
，所以
，
又
平面
，
平面，
所以
平面.
（2）過
作
于，
因為
，所以是線段的中點.
因為平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，連接
，
因為
是等邊三角形，是線段的中點，所以
.
所以
平面
.
如圖，以為原點，
，
，所在直線
分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標，
不妨設
，則
，
，
，
，
，
由
，得
，
則
的中點
，
從而
，
.
設平面
的法向量為
，
則
，即
，
不妨取
，得
，即
.
易知平面的一個法向量為
，
則
，
所以二面角
的余弦值為.
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【題目】造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發明對中國古代的政治，經濟，文化的發展產生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發明，能說出兩種發明的有45人，能說出3種及其以上發明的有32人，據此估計該校三級的500名學生中，對四大發明只能說出一種或一種也說不出的有（ ）
A.69人B.84人C.108人D.115人
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，現從高一學生中抽取
人做調查，得到
列聯表：
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合計 | 100 |
且已知在個人中隨機抽取
人，抽到喜歡游泳的學生的概率為
.
（1）請完成上面的列聯表；
（2）根據列聯表的數據，是否有
的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）＝2ax2+2bx，若存在實數x0∈（0，t），使得對任意不為零的實數a，b均有f（x0）＝a+b成立，則t的取值范圍是_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產某款機器零件，因為要求精度比較高，所以需要對生產的一大批零件進行質量檢測.首先由專家根據各種系數制定了質量指標值，從生產的大批零件中選取100件作為樣本進行評估，根據評估結果作出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）（ⅰ）根據直方圖求
及這100個零件的樣本平均數
（同一組數據用該組數據區間的中點值表示）；
（ⅱ）以樣本估計總體，經過專家研究，零件的質量指標值
，試估計10000件零件質量指標值在
內的件數；
（2）設每個零件利潤為
元，質量指標值為
，利潤與質量指標值之間滿足函數關系
.假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，試估算該批零件的平均利潤.（結果四舍五入，保留整數）
參考數據：
，則
，
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐S—ABCD中，
底面ABCD，底面ABCD是矩形，且
，E是SA的中點．
（1）求證：平面BED
平面SAB；
（2）求平面BED與平面SBC所成二面角（銳角）的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大荔縣某高中一社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了
名學生進行調查.根據調查結果繪制的學生均學習圍棋時間的頻率分布直方圖.將日均學習圍棋時不低于
分鐘的學生稱為“圍棋迷”.
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 |
|
| |
合計 |
（1）根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否有
的把握認為“圍棋迷”與性別有關？
（2）現在從參與本次抽樣調查的名學生的男同學里面，依據是否為圍棋迷，采用分層抽樣的方法抽取
名學生參與圍棋知識競賽，再從人中任選
人參與知識競賽的賽前保障工作.求選到的人恰好是一個“圍棋迷”和一個“非圍棋迷”的概率？
附：
，
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