Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9．sinB=cosAsinC，面積S_△ABC=6，
（1）求△ABC的三邊的長；
（2）設P是△ABC（含邊界）內的一點，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z．
①寫出x、y、z．所滿足的等量關系；
②利用線性規劃相關知識求出x+y+z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設△ABC中的三邊分別為a、b、c，由三角形內角和化簡sinB=cosAsinC，算出C=

π

2

．由此化簡

AB

•

AC

=9，得到b²=9，解出b=3，代入三角形面積公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的長；
（2）①由三角形面積公式將△ABC的面積分為三塊計算，化簡得3x+4y+5z=12，即為x、y、z．所滿足的等量關系；
②由①化簡出x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)，設目標函數t=2x+y，并根據不等式畫出如圖可行域，利用直線平移法解出0≤t≤8，從而可得x+y+z的取值范圍．

解答：解：（1）設△ABC中角ABC所對邊分別為a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=

π

2

又∵

AB

•

AC

=9，得bccosA=9
∴結合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S△ABC=

1

2

a•b=6，∴a=4
結合c²=a²+b²得c=5
即△ABC的三邊長a=4，b=3，c=5…（4分）
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

•3x+

1

2

•4y+

1

2

•5z=6，故3x+4y+5z=12…（8分）
②x+y+z=x+y+

1

5

(12-3x-4y)=

12

5

+

1

5

(2x+y)
令t=2x+y依題意有

x≥0 y≥0 3x+4y≤12

…（10分）
畫出可行域如圖
可知當x=0，y=0時t_min=0
當x=4，y=0時，t_max=8，即0≤t≤8
故x+y+z=

12

5

+

1

5

t的取值范圍為[

12

5

，4]…（13分）

點評：本題著重考查了向量的數量積、三角形的面積公式、勾股定理的知識，考查了簡單的線性規則的知識，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中轉化化歸、數形結合和方程思想的運用．