Question

在數列{a_n}中，若存在非零整數T，使得a_m+T=a_m對于任意的正整數m均成立，那么稱數列{a_n}為周期數列，其中T叫做數列{a_n}的周期．若數列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當數列{x_n}的周期最小時，該數列的前2010項的和是（ ）
A．669
B．670
C．1339
D．1340

Answer 1

【答案】分析：題目中給出了新名詞，首先要弄清題意中所說的周期數列的含義，然后利用這個定義，針對題目中的數列的周期情況分類討論，從而將a值確定，進而將數列的前2 010項和確定．
解答：解：若其最小周期為1，則該數列是常數列，即每一項都等于1，此時a=1，
該數列的項分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時該數列是以3為周期的數列；
若其最小周期為2，則有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此時該數列的項依次為1，2，1，1，0，…，由此可見，此時它并不是以2為周期的數列．
綜上所述，當數列{x_n}的周期最小時，其最小周期是3，a=1，又2 010=3×670，
故此時該數列的前2 010項和是670×（1+1+0）=1340．
故答案為D．
點評：此題考查對新概念的理解以及分析問題的能力．