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已知平面上三點A，B，C滿足|
AB
|=5，|
BC
|=12，|
CA
|=13，則
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值等于
-169
-169
．
分析：由平面上三點A，B，C滿足|
AB
|=5，|
BC
|=12，|
CA
|=13，可得|
AB
|2+|
BC
|2=|
CA
|2，利用勾股定理的逆定理得∠ABC=90°．如圖所示，可得cosA=
5
13
，cosC=
12
13
．再利用數量積可得
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
=0+|
BC
| |
CA
|cos(π-C)+|
CA
| |
AB
| cos(π-A)，代入計算即可．
解答：解：∵平面上三點A，B，C滿足|
AB
|=5，|
BC
|=12，|
CA
|=13，
∴|
AB
|2+|
BC
|2=|
CA
|2．
∴∠ABC=90°．
如圖所示，cosA=
5
13
，cosC=
12
13
．
∴
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB

=0+|
BC
| |
CA
|cos(π-C)+|
CA
| |
AB
| cos(π-A)
=12×13×(-
12
13
)+13×5×(-
5
13
)
=-169．
故答案為-169．
點評：熟練掌握勾股定理的逆定理、三角函數、數量積運算是解題的關鍵．注意向量的夾角不要找錯．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面上三點A、B、C滿足|
AB
|=2，|
BC
|=1，|
CA
|=
3
，則
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值等于
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面上三點A、B、C滿足|
AB
|=3，|
BC
|=4，|
CA
|=5，則
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值等于（　　）
A、25B、-25
C、24D、-24

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面上三點A，B，C在一條直線上，
OA
=(-2，m)，
OB
=(n，1)，
OC
=(5，-1)，且
OA
⊥
OB
，求實數m，n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面上三點A、B、C滿足|
AB
|=6，|
BC
|=8，|
CA
|=10，則
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值等于
-100
-100
．

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同步練習冊答案
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