Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓：，圓： （，且）.

（1）設為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓與圓的一條切線，切點分別為、，使得，試求出所有滿足條件的點的坐標；

（2）若斜率為正數的直線平分圓，求證：直線與圓總相交.

Answer 1

【答案】（1）或（2）見解析

【解析】

分析：（1）設點的坐標為，根據切線長定理可得，又為坐標軸上的點，由此可得所求．（2）由題意可設直線的方程為，即．問題等價于圓心到直線的距離小于半徑，即 ，分析可得，由可得，從而得結論成立．

詳解：（1）設點的坐標為，圓與圓的半徑分別為，

由題意得，

即

化簡得，

因為為坐標軸上的點，

所以點的坐標為或.

（2）依題意知直線過圓的圓心，可設直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離為，

又圓的半徑為，

“直線與圓總相交”等價于“且， ”，

即 ①，

記，整理得，

當時，得；

當時，由判別式，

解得；

綜上得，的最小值為1，

所以由①可得，解得．

故直線與圓總相交．