Question

函數f（x）=

1

2a

x²-（1+

1

a2

）x+

1

a

lnx，a∈R．
（1）當a＞1時，討論f（x）的單調性；
（2）g（x）=b²x²-3x+

1

2

ln2，當a=2，1＜x≤3時，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間；
（2）g（x）＞f（x）恒有解，分類參數可得即b²＞3[-

1

2

•

1

x2

+

1

x

]有解，利用換元法和導數研究函數k（t）=-

1

2

t2+t，t∈[

1

3

，1]的最值，即可求得結論．

解答：解：（1）f′（x）=

1

a

x-1-

1

a2

+

1

ax

=

1

ax

[x²-（a+

1

a

）x+1]=

1

ax

（x-a）（x-

1

a

）
由題設知x＞0，
a-

1

a

=

(a+1)(a-1)

a

當a＞1時，a-

1

a

＞0即0＜

1

a

＜a，則f（x）在（0，

1

a

）和（a，+∞）上單增，在（

1

a

，a）上單減
（2）由（1）知，a=2，1＜x＜3時，
當x=2時f（x）得到最小值為f（2）=-

3

2

+

1

2

ln2
∴1＜x≤3時，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+

1

2

ln2＞-

3

2

+

1

2

ln2在1＜x＜3時有解
即b²＞3[-

1

2

•

1

x2

+

1

x

]有解，
令t=

1

x

∈[

1

3

，1]，k（t）=-

1

2

t2+t，t∈[

1

3

，1]，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t） 在 t∈[

1

3

，1]上單增
∴

5

6

=k(

1

3

)≤k(t)＜k(1)=

3

2

∴需b² ＞

5

6

，即b ＜-

30

6

或b ＞

30

6

∴b的范圍是（-∞，-

30

6

）∪（

30

6

，+∞）．

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，理解函數恒成立取到的條件，考查應用知識分析解決問題的能力和運算能力，分離參數轉化為求函數的最值是解題的關鍵，體現了轉化的數學思想方法，屬難題．