Question

（2013•鐵嶺模擬）已知函數f（x）=

1

2

x2+(

3

4

a2+

1

2

a)lnx-2ax，a∈R．
（Ⅰ）當a=-

1

2

時，求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若函數f（x）在導函數f′（x）的單調區間上也是單調的，求a的取值范圍；
（Ⅲ） 當0＜a＜

1

8

時，設g（x）=f（x）-（

3

4

a2+

1

2

a+1）lnx-（a+

1

2

）x²+（2a+1）x，且x₁，x₂是函數g（x）的極值點，證明：g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x，（x＞0），f′（x）=x-

1

16x

+1=0，由此能求出函數f（x）的極值點．
（Ⅱ）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2 a

x

（x＞0），令g（x）=x²-2ax+a²+a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，設g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），由此進行分類討論，能求出a的取值范圍．
（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax²+x，g′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．令g′（x）=0，即2ax²-x+1=0，當0＜a＜時，△=1-8a＞0，所以，方程2ax²-x+1=0的兩個不相等的正根x₁，x₂，設x₁＜x₂，則當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，g′（x）＜0，當x∈（x₁，x₂）時，g′（x）＞0，所以g（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．由此能夠證明g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x  （x＞0），f′（x）=x-

1

16x

+1=0，
∴x₁=

-2+ 5

4

，x₂=

-2- 5

4

（不在定義域內，舍）
∴（0，

-2+ 5

4

]單調減，[

-2+ 5

4

，+∞）單調增，
∴f（x）在x=

-2+ 5

4

時取極小值，且是唯一極值．
（Ⅱ）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2 a

x

（x＞0）
令g（x）=x²-2ax+

3

4

a²+

1

2

a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，
設g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）
1⁰ 當△≤0時，即0≤a≤2，f′（x）≥0，
∴f（x）單調遞增，滿足題意；
2⁰ 當△＞0時  即a＜0或a＞2時，
（1）若x₁＜0＜x₂，則 a²+a＜0，
即-＜a＜0時，f（x）在（0，x₂）上減，（x₂，+∞）上增，
f′（x）=x+-2a，f''（x）=1-≥0，
∴f′（x） 在（0，+∞）單調增，不合題意
（2）若x₁＜x₂＜0 則

3 4 a2+ 1 2 a≥0 a＜0

，
即a≤-時f（x）在（0，+∞）上單調增，滿足題意．
（3）若0＜x₁＜x₂則

3 4 a2+ 1 2 a＞0 a＞0

，
即a＞2時，∴f（x）在（0，x₁）單調增，（x₁，x₂）單調減，（x₂，+∞）單調增，
不合題意．綜上得a≤-或0≤a≤2．
（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax²+x，g′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．
令g′（x）=0，即2ax²-x+1=0，
當0＜a＜時，△=1-8a＞0，
所以，方程2ax²-x+1=0的兩個不相等的正根x₁，x₂，設x₁＜x₂，
則當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，g′（x）＜0，
當x∈（x₁，x₂）時，g′（x）＞0，
所以g（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．
g（x₁）+g（x₂）=-lnx₁-ax+x₁-lnx₂-ax+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-（x₁-1）-（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1
=ln（2a）+…+1．
令h（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
則當a∈（0，）時，h′（a）=-=＜0，h（a）在（0，）單調遞減，
所以h（a）＞h（

1

8

）=3-2ln2，
即g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

點評：本題考查函數的極值點和實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．