Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱(chēng)函數(shù)x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)等值域變換．
有下列說(shuō)法：
①若f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R，則x=g（t）不是f（x）的一個(gè)等值域變換；
②f（x）=|x|（x∈R），x=log3(t2+1)，(t∈R)，則x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換；
③若f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R，則x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換；
④設(shè)f（x）=log₂x（x＞0），若x=g（t）=5^t+5^-t+m是y=f（x）的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)f（g（t））的定義域?yàn)镽，則m的取值范圍是m≤-2．
在上述說(shuō)法中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：已知等值域變換的定義，分別求出f（x）和g（x）的值域和定義域，對(duì)①②③④進(jìn)行一一驗(yàn)證，從而求解；

解答：解：①函數(shù)f（x）=2x+b，x∈R的值域?yàn)镽，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+b≥4+b，值域不一樣，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個(gè)等值域變換，故①中結(jié)論是正確的；
②可得f（x）=|x|≥0，值域大于等于0，
∵x=log3(t2+1)，(t∈R)，
∴y=f（g（t））=|log3(t2+1)|=log3(t2+1)≥0，值域大于等于0，
所以，x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換，故②中結(jié)論是正確的；
③若f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∵x=g（t）=2^t，
∴y=f（g（t））=（2^t-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換，故③的結(jié)論是正確；
④f（x）=log₂x（x＞0），值域?yàn)镽，
∵x=g（t）=5^t+5^-t+m是y=f（x）的一個(gè)等值域變換，
∴函數(shù)f（g（t））的定義域?yàn)镽，值域也為R，
∴f（g（t））=log₂（5^t+5^-t+m）的值域?yàn)镽，可得5^t+5^-t+m可以取到一切正數(shù)，所以m≤-（5^t+5^-t）≤-2，在R上恒成立，
∴m≤-2，故④正確，
綜上知，①②③④是正確的
故選D；

點(diǎn)評(píng)：考查新定義，解題的關(guān)鍵的是能夠讀懂新定義，利用了整體代換的思想，是一道綜合題；