Question

學校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（1）求水面寬；
（2）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？


（3）現在學校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？

Answer 1

（1）米（2）立方米；（3）米

解析試題分析：（1）以O為坐標原點，拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系，寫出A，B點的坐標，利用待定系數法拋物線方程，利用水深即為水面與拋物線交點的縱坐標，代入拋物線方程求出水面與拋物線交點的橫坐標，結合圖知所求橫坐標的2倍就是水面寬度；（2）利用定積分求出水體底面面積，再用柱體體積公式求出水體體積；（3）設出切點坐標，利用切點的導數就是切線的斜率求出切線的斜率，利用直線方程的點斜式求出切線方程，求出上下兩底頂點的坐標，利用上下底頂點坐標的二倍就是梯形上下底寬算出梯形上下底的寬，將梯形面積表示為切點的橫坐標的函數，利用基本不等式求出面積取最小值時對應的切點坐標，從而求出梯形的下底寬.
試題解析:（1）如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為．

則由拋物線過點，可得．
于是拋物線方程為．
當時，，由此知水面寬為（米）．
（2）（立方米）
（3）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切．
設切點是拋物線弧上的一點，過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是．
記梯形的面積為，則，
當且僅當，時，等號成立，所以改挖后的溝底寬為米時，所挖的土最少．
考點：1.拋物線的圖像與性質；2.定積分；3.利用導數求函數的切線；4.利用基本不等式求函數最值;5.函數應用.