Question

 如圖四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PC與平面ABCD成45°角，E、F分別為PA、PB的中點．  

（1）求異面直線DE與AF所成角的大小；

（2）設M是PC上的動點，試問當M在何處時，才能使AM⊥平面PBD，證明你的結論． 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）如圖，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，F(1，0，)，D(0，2，0)，E(0，0，)；(1，0，)，(0，－2，)．  

設與的夾角為θ，

則cos＝＝＝，

∴DE與AF所成的角為arccos． 

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．

        又ABCD是正方形，∴BD⊥AC，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AM．

       由題意可設M點坐標為(t，t，2(2－t’)，

∴又P(0，0，2)，B(2，0，0)，＝(2，0，－2)． 

設AM⊥PB，∴· ＝0，即2t－2×(2－t)＝0．  

∴t＝，∴||＝，又||＝4，

∴M在＝2這位置于，AM⊥平面PBD．