Question

已知常數(shù),函數(shù).
(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.

Answer 1

(1)詳見解析  (2)

試題分析:(1)首先對函數(shù)求導并化簡得到導函數(shù),導函數(shù)的分母恒大于0,分子為含參的二次函數(shù),故討論分子的符號,確定導函數(shù)符號得到原函數(shù)的單調(diào)性,即分和得到導函數(shù)分子大于0和小于0的解集進而得到函數(shù)的單調(diào)性.
(2)利用第(1)可得到當時,導數(shù)等于0有兩個根,根據(jù)題意即為兩個極值點,首先導函數(shù)等于0的兩個根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關于的表達式帶入,得到關于的不等式,然后利用導函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題.
(1)對函數(shù)求導可得
,因為,所以當時,即時,恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當時, ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.
(2)解:(1)對函數(shù)求導可得,因為,所以當時,即時,恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當時, ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.
(2)函數(shù)的定義域為,由(1)可得當時,,則 ,即,則為函數(shù)的兩個極值點,代入可得
=
令,令,由知: 當時,, 當時,,
當時,,對求導可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意.
當時, ,對求導可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即恒成立,
綜上的取值范圍為.