Question

【題目】如圖所示，拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線l與拋物線交于P，Q兩點，弦PQ的中點為N，經過點N作y軸的垂線與C的準線交于點T．

（Ⅰ）若直線l的斜率為1，且|PQ|=4，求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）證明：無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經過點F．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由直線l的斜率為1，可設直線l的方程為y=x﹣ ，

與拋物線C的方程聯立，化簡得x2﹣3px+ =0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達定理可知，x1+x2=3p，

∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，

∴拋物線C的方程為y2=2x．

（Ⅱ）證明：設直線l的方程為x=my+ ，

與拋物線C的方程聯立，化簡得y2﹣2pmy﹣p2=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達定理可知，y1+y2=2pm，

∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p，

∴點N的坐標為（pm2+ ，pm），

∴點T的坐標為（﹣ ，pm），

∴ =（﹣p，pm）， =（pm2，pm），

∴ =﹣p2m2+p2m2=0，

∴無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經過點F

【解析】（Ⅰ）用p表示出直線l的方程，將其與拋物線的方程聯立后利用韋達定理用p表示出PQ的長，進而求得p的值，即可得到拋物線的方程；（Ⅱ）若線段TN為直徑的圓總經過點F，則FT與FN互相垂直，從而找到證明的突破口.