Question

在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的對應邊，①若a＞b，則f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函數；　②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，則△ABC是Rt△；　③cosC+sinC的最小值為-

2

；　④若cosA=cosB，則A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，則A+B=

3π

4

，其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據三角形中大邊對大角以及正弦定理即可得到f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函數；②利用正弦定理和三角恒等變形對a²-b²=（acosB+bcosA）²，進行化簡得到A=

π

2

，故△ABC是Rt△；③利用三角恒等變形對cosC+sinC化簡得

2

sin(c+

π

4

)，根據角范圍分析即可得到答案；④利用余弦函數的單調性即可證明結論；⑤利用兩角和的正切公式的變形tanB+tanA=tan（A+B）（1-tanAtanB），進行化簡即可求得結果．

解答：解：①∵a＞b，根據正弦定理得sinA＞sinB，
∴f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函數，故正確；
②∵a²-b²=（acosB+bcosA）²
∴a²-b²=（acosB+bcosA）²=a²cos²B+2abcosBcosA+b²cos²A，
整理得a²sin²B=2abcosBcosA+b²（1+cos²A），
即sin²Asin²B=2sinAsinBcosBcosA+sin²B（1+cos²A），
sinA（sinAsinB-cosBcosA）=sinB+cosA（sinAcosB+sinBcosA）
sinAcosC=sinB+cosAsinC，∴sin（A-C）=sin（A+C），
∴A-C+A+C=π，即A=

π

2

，故△ABC是Rt△；正確；
③cosC+sinC=

2

sin(c+

π

4

)，
∵0＜C＜π，∴

π

4

＜C+

π

4

＜

5π

4

∴cosC+sinC∈(- 1，

2

 ]，故cosC+sinC的最小值為-

2

；錯；
④∵cosA=cosB，且0＜A、B＜π，y=cosx在[0，π]上單調遞減，
∴A=B；故正確；
⑤∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
∴1+tanAtanB+tanB+tanA=2，即tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanAtanB=1
∴tan（A+B）=1，∴A+B=kπ+

π

4

，故錯；
故①②④正確．
故答案為：①②④

點評：此題考查正弦定理的應用以及三角恒等變形等基礎知識，綜合性強，利用三角函數的單調性求最值時，注意利用三角恒等變形對要求函數化簡為y=Asin（?x+φ），根據角范圍分析求得函數的最值，是常考知識點，也是易錯點，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．