Question

【題目】已知橢圓:的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為、.

（1）求橢圓的方程；

（2）設不經過點A的直線與橢圓交于P、Q兩點，且,試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點

【解析】

（1）根據圓的圓心和半徑寫出圓的標準方程，令求得圓與軸交點的坐標，由此列方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.（1）根據，利用點斜式設出直線的方程，并分別代入橢圓方程解出兩點的坐標，由此求得直線的方程，由此求得定點的坐標為.

解：（1）依題意知點A的坐標為，則以點A圓心，以為半徑的圓的方程為:

，

令得，由圓A與y軸的交點分別為、

可得，解得，

故所求橢圓的方程為.

（2）由得，可知PA的斜率存在且不為0，

設直線-① 則-②

將①代入橢圓方程并整理得，可得，

則，

類似地可得，

由直線方程的兩點式可得：直線的方程為 ，

即直線過定點，該定點的坐標為.