Question

已知直線2x+y-8=0和直線x-2y+1=0的交點為P，分別求滿足下列條件的直線方程．
（Ⅰ）直線m過點P且到點A（-2，-1）和點B（2，1）距離相等；
（Ⅱ）直線n過點P且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12．

Answer 1

分析：（I）聯(lián)立方程2x+y-8=0，x-2y+1=0即可得到交點P的坐標(biāo)，由直線m過點P且到點A（-2，-1）和點B（3，2）距離相等，可得：直線m平行于直線AB，或經(jīng)過AB的中點．再利用相互平行的直線斜率之間的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式即可得出．
（2）設(shè)直線n的方程為y-4=k（x-2），分別令x=0，y=0即可得到在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)而得到k．

解答：解：（Ⅰ）由

2x+y-8=0 x-2y+1=0

，
解得交點坐標(biāo)為P（2，4），
∵直線m過點P且到點A（-2，-1）和點B（3，2）距離相等
∴直線m平行于直線AB，或經(jīng)過AB的中點．
由已知得kAB=

1

2

，AB的中點C（0，0），且k_PC=2．
直線m的方程為y-4=

1

2

(x-2)或y=2x，
即x-2y+6=0或2x-y=0．
（Ⅱ）設(shè)直線n的方程為y-4=k（x-2），
令x=0，得y=4-2k，令y=0，得x=2-

4

k

，
由題意4-2k+2-

4

k

=12，整理的k²+3k+2=0，
解得k=-1或k=-2．
∴直線n的方程為y-4=-（x-2）或y-4=-2（x-2）．
即x+y-6=0或2x+y-8=0．

點評：本題考查了相互平行的直線斜率之間的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式、截距式等基礎(chǔ)知識及方法，屬于基礎(chǔ)題．