Question

【題目】已知函數.

（1）若函數是函數的反函數，解方程；

（2）當時，定義，設，數列的前n項和為，求及；

（3）對于任意，其中，當能作為一個三角形的三邊長時,也總能作為一個三角形的三邊長，試探究M的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最小值為2.

【解析】

（1）由題設知g（x），f﹣1（x）＝2x，由g（2x）＝3f﹣1（x）+3，得，由此能求出原方程的解；

（2）若1∈（3m，3m+3]，m＝0，能導出a1＝0；若2∈（3m，3m+3]，m＝0，能導出a2＝2；若3∈（3m，3m+3]，m＝0，能導出a3＝3log23；若4∈（3m，3m+3]，m＝1，能導出a4＝0；當n＝3m+1（m∈N）時，能導出an＝0；當n＝3m+2（m∈N）時，能導出an＝n；當n＝3m+3（m∈N）時，能導出an＝nlog23．由此能求出S3n；

（3）由題意知，c+b＞a，若f（a），f（b），f（c）能作為某個三角形的三邊長log2c+log2b＞log2abc＞a，bc≥b+c（b﹣1）（c﹣1）≥1．當b≥2，c≥2時，有（b﹣1）（c﹣1）≥1成立，則一定有bc＞a成立．由此能夠得出M的最小值為2．

（1）∵函數y＝g（x）是函數y＝f（2x+1）的反函數，

∴g（x），f﹣1（x）＝2x，

∵g（2x）＝3f﹣1（x）+3，∴，

解得2x＝7，∴x＝log27．

（2）若1∈（3m，3m+3]，∴m＝0，∴φ（1）＝f（1）＝0，∴a1＝1×0＝0

若2∈（3m，3m+3]，∴m＝0，∴φ（2）＝f（2）＝1，∴a2＝2×1＝2

若3∈（3m，3m+3]，∴m＝0，∴φ（3）＝f（3）＝log23，∴a3＝3log23

若4/span>∈（3m，3m+3]，∴m＝1，∴φ（4）＝f（1）＝0，∴a4＝4×0＝0

當n＝3m+1（m∈N）時，φ（n）＝f（n﹣3m）＝f（1）＝0，∴an＝n×0＝0

當n＝3m+2（m∈N）時，φ（n）＝f（n﹣3m）＝f（2）＝1，∴an＝n×1＝n

當n＝3m+3（m∈N）時，φ（n）＝f（n﹣3m）＝f（3）＝log23，

∴an＝nlog23，

S3n＝a1+a2+a3+a4+…+a3n

＝1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23

＝（2+5+8+…+3n﹣1）×1+（3+6+9+…+3n）log23

nn×log23

[3n+1+（3n+3）log23]．

（3）a、b、c能作為一個三角形的三邊長，由題意知，c+b＞a

∵f（a），f（b），f（c）能作為某個三角形的三邊長，

∴log2c+log2b＞log2a，

∴bc＞a，

當b≥2，c≥2時，有（b﹣1）（c﹣1）≥1成立，則一定有bc＞a成立．

∵log2c＞0，

∴c＞1，即0＜M≤1不合題意．

又當1＜M＜2時，取b＝M，c＝M，a＝M2，有M+M＞M2，即b+c＞a，

此時a，b，c可作為一個三角形的三邊長，但log2M+log2M＝2log2M＝log2M2，

即f（b）+f（c）＝f（a），所以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．

綜上所述，M的最小值為2．