Question

如圖，是邊長為2的正方形，⊥平面,,// 且.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求幾何體的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）2.

試題分析：（Ⅰ）利用垂直關系進行轉化，最后借助面面垂直的判斷定理證明平面⊥平面；（Ⅱ）采用體積分割的思路進行求解.即，然后明確幾何體的高進行求解.
試題解析：（Ⅰ）∵ ED⊥平面，AC平面，∴ ED⊥AC．    2分
∵ 是正方形，∴ BD⊥AC，                     4分
∴ AC⊥平面BDEF．                                  6分
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）連結FO，∵ EFDO，∴ 四邊形EFOD是平行四邊形．
由ED⊥平面可得ED⊥DO，
∴ 四邊形EFOD是矩形．    8分
方法一：∴∥，
而ED⊥平面，∴ ⊥平面．
∵ 是邊長為2的正方形，∴.
由（Ⅰ）知，點、到平面BDEF的距離分別是、，
從而；
方法二：∵ 平面EAC⊥平面BDEF．
∴ 點F到平面ACE的距離等于就是Rt△EFO斜邊EO上的高，且高
．    10分
∴幾何體ABCDEF的體積

=
=2．                  12分