Question

設z是虛數，是實數，且.
（1）求的值及z的實部的取值范圍.
（2）設，求的最小值.

Answer 1

（1），的實部的取值范圍是；（2）1.

試題分析：（1）設且，則，由題意是實數，故其虛部為0，即而，又由是虛數，可得，從而可得，即，此時，由，可得；
由（1）得：
，
因此，將代入，可將原式化為：
，故可以用基本不等式求其最小值.
（1）設且，則
∵是實數，∴，又是虛數，∴，∴，即，∴，
∵，∴，即，故z的實部取值范圍；
∵，
∵，∴，
，
，∴當即時，的最小值為1．