Question

已知橢圓的離心率e滿足成等比數列，且橢圓上的點到焦點的最短距離為．過點（2，0）作直線l交橢圓于點A，B．
（1）若AB的中點C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設橢圓中心為，問是否存在直線l，使得的面積滿足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的幾何性質及等比數列得出關于a，c的方程，解得a，c的值從而求出橢圓的方程．再結合點差法求直線l的斜率，從而得出直線l的方程；
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用條件等式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：（1）…（2分），
∴橢圓方程：…（4分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為C（x，y），
則有：

∴直線l的方程為y=-x+2…（6分），經檢驗y=-x+2適合題意．…（6分）
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可設直線l的方程為y=k（x-2）
代入橢圓方程可得：…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
經檢驗適合題意…（12分）
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想．屬于基礎題．