Question

已知橢圓的離心率e=

2

2

，一條準線方程為x=4，P為準線上一動點，以原點為圓心，橢圓的焦距|F₁F₂|為直徑作圓O，直線PF₁，PF₂與圓O的另一個交點分別為M，N．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）探究直線MN是否經過一定點，若存在，求出該點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用橢圓的離心率e=

2

2

，一條準線方程為x=4，建立方程組，求出幾何量，即可得到橢圓的標準方程；
（2）確定圓O的方程，設出直線PF₁的方程，代入圓的方程，確定M的坐標，同理可得N的坐標，分類討論，確定直線MN的方程，即可得到結論．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓的離心率e=

2

2

，一條準線方程為x=4，
∴

c a = 2 2 a2 c =4

∴a=2

2

，c=2
∴b²=a²-c²=4
∴橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由題意，F₁（-2，0），F₂（2，0），∴⊙O的方程為x²+y²=4
設P（4，m）則直線PF₁的方程為y=

m

6

(x+2)
代入圓的方程，可得（m²+36）x²+4m²x+4（m²-36）=0
∴x₁=-2，x₂=-

2(m2-36)

m2+36

∴M（-

2(m2-36)

m2+36

，

24m

m2+36

）
同理可得N（

2(m2-4)

m2+4

，

-8

m2+4

）
若MN⊥x軸，則-

2(m2-36)

m2+36

=

2(m2-4)

m2+4

，解得m²=12，此時點M，N的橫坐標都為1，直線MN過定點（1，0）；
若MN與x軸不垂直，即m²≠12，此時，k_MN=

-8 m2+4 - 24m m2+36

2(m2-4) m2+4 + 2(m2-36) m2+36

=

-8m

m2-12

∴直線MN的方程為y-

-8

m2+4

=

-8m

m2-12

[x-

2(m2-4)

m2+4

]
即y=

-8m

m2-12

(x-1)
∴直線MN過定點（1，0），
綜上，直線MN過定點（1，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．