Question

設函數f（x）滿足f（-x）=-f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0的解集為

[-1，0）∪（0，1]

．

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x），化簡不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0得

2f(x)

x

≤0．再分x＞0和x＜0時兩種情況加以討論，利用函數的單調性和f（1）=0，分別解關于x的不等式得到x的取值范圍．最后綜合可得原不等式的解集．

解答：解：∵函數f（x）滿足f（-x）=-f（x）（x∈R），
∴f（x）-f（-x）=f（x）+f（x）=2f（x），
因此，不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0等價于

2f(x)

x

≤0，
化簡得

f(x)≥0 x＜0

或

f(x)≤0 x＞0

，
①當x＞0時，由于在（0，+∞）上f（x）為增函數且f（1）=0，
∴由不等式f（x）≤0=f（1），得0＜x≤1；
②當x＜0時，-x＞0，
不等式f（x）≥0化成-f（x）≤0，即f（-x）≤0=f（1），
解之得-x≤1，即-1≤x＜0．
綜上所述，原不等式的解集為[-1，0）∪（0，1]．
故答案為：[-1，0）∪（0，1]

點評：本題給出函數的單調性和奇偶性，求解關于x的不等式．著重考查了函數的簡單性質及其應用、不等式的解法等知識，屬于中檔題．