Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n+2，a₁=-2
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b_n+1=b_n+

1

3

an，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（3）數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=log₂（5-3b_n），求數(shù)列{c_n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）S_n=2a_n+2，S_n-1=2a_n-1+2，（n≥2），兩式相減并整理得a_n=2a_n-1，由此證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）得知a_n=-2•2^n-1=-2ⁿ，b_n+1-b_n=

1

3

an=-

1

3

•2ⁿ，用疊加法求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=log₂（5-3b_n）=n．c_n•a_n=-n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相消法求和．

解答：解：（1）S_n=2a_n+2，S_n-1=2a_n-1+2，（n≥2），兩式相減并整理得a_n=2a_n-1，（n≥2），
由a₁=-2≠0，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
（2）由（1）得知，數(shù)列{a_n}公比為2，其通項(xiàng)公式為a_n=-2•2^n-1=-2ⁿ
所以b_n+1-b_n=

1

3

an=-

1

3

•2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=-

1

3

•（2^n-1+2^n-2+…+2¹）+1
=-

1

3

•

2(1-2n-1)

1-2

+1
=-

1

3

•2n+

5

3

（3）c_n=log₂（5-3b_n）=n，c_n•a_n=-n•2ⁿ
∴T_n=-（1×2¹+2×2²+…n×2ⁿ）
∴2T_n=-（1×2²+2×2³+…n×2ⁿ⁺¹）
兩式相減得出
-T_n=-（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹
=2-（1-n）•2ⁿ⁺¹
T_n=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的判定，通項(xiàng)公式求解，疊加法、錯(cuò)位相消法在數(shù)列中的應(yīng)用．均屬于數(shù)列中重要而又基本的知識(shí)和能力要求．