Question

已知函數(shù)，（ 為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底）．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若在時(shí)取得極小值，試確定的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)由的極大值構(gòu)成的函數(shù)為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線（為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；（3）曲線不能與直線相切，證明詳見解析．

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可求出；（2）先根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分、、三種情況進(jìn)行討論，確定哪一種情況才符合在時(shí)取得極小值，進(jìn)而可確定的取值范圍；（3）根據(jù)（2）確定函數(shù)的極大值為，進(jìn)而得出，該曲線能否與直線相切，就看方程有沒有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以 
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240549063071697.png" style="vertical-align:middle;" />
令，得或
當(dāng)，即時(shí)，恒成立
此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值；
當(dāng)，即時(shí)， 若，則，若，則
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)
當(dāng)，即時(shí)，若，則．若，則
此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)
綜上所述，使函數(shù)在時(shí)取得極小值的的取值范圍是 
（3）由（2）知當(dāng)，且時(shí)，
因此是的極大值點(diǎn)，極大值為
所以．
令 
則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)
所以當(dāng)時(shí)，，即恒有 
又直線的斜率為
所以曲線不能與直線相切．