Question

如圖，已知圓O：x²＋y²＝4與y軸正半軸交于點P，A(－1，0)，B(1，0)，直線l與圓O切于點S(l不垂直于x軸)，拋物線過A、B兩點且以l為準線．

(Ⅰ)當點S在圓周上運動時，求證：拋物線的焦點Q始終在某一橢圓C上，并求出該橢圓C的方程；

(Ⅱ)設M、N是(Ⅰ)中橢圓C上除短軸端點外的不同兩點，且，問：△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：設Q(x，y)，如圖所示，作，垂直于直線l，，為垂足，連結AQ，BQ，OS，則OS⊥l 　　∵OS是直角梯形B的中位線， 　　∴||＋||＝2|OS| 　　由拋物線的定義，知||＝|AQ|，||＝|BQ|． 　　∴|QA|＋|QB|＝||＋||＝2|OS|＝4＞2＝|AB|，　　3分 　　由橢圓的定義，得焦點Q在以A，B為焦點的橢圓 　　上，且2a＝4，2c＝2，∴b2＝3 　　∴橢圓C的方程為　　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ)∵ 　　∴P、M、N三點共線　　　　　　　　　　　　　　　6分 　　由題意，直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為y＝kx＋2， 　　代入橢圓方程，得 　　由　　　　8分 　　設，由韋達定理，得， 　　∴ 　　原點O到直線PN的距離為　　　　10分 　　∴ 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分 　　當且僅當時，即k＝±時取等號． 　　∴△MON的面積有最大值　　　　　　　　14分