Question

如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A、B兩點，P在圓O上運動（不與A、B重合），過P作直線l₁，OS垂直于l₁交直線l₂：x=-3于點S．
（1）求證：“如果直線l₁過點T（-1，0），那么

OP

•

PS

=1”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=2，當x₀=-1時，求出S的坐標，化簡

OP

•

PS

的解析式．當x₀≠-1時，求出S的坐標，
化簡

OP

•

PS

的解析式．
（2）先寫出逆命題，設S（-3，t），P（x₀，y₀）（y₀≠0），由

OP

•

PS

=1，及x₀²+y₀²=2，得出t=

3+3x0

y0

．
當當x₀=-1時，直線l₁的方程知過點（-1，0）；當x₀≠-1時，由直線l₁的方程知過點（-1，0）．

解答：證明：（1）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），則x₀²+y₀²=2．當x₀=-1時，
∵直線l₁過點T（-1，0），∴S（-3，0），即

PS

=(-3-x0，-y0)，
∴

OP

•

PS

=-3x0-x02-y0²=1．
當x₀≠-1時，∵直線l₁過點T（-1，0），∴直線l₁的斜率k₁=

y0

x0+1

，
∴直線OS的斜率k=-

x0+1

y0

，其方程為 y=-

x0+1

y0

x，
∴S(-3，

3x0+3

y0

)，即

PS

=(-3-x0，

3x0+3

y0

-y0)．
∴

OP

•

PS

=-3x₀-x₀²+3x₀+3-y₀²=3-2=1．
故“如果直線l₁過點T（-1，0），那么

OP

•

PS

=1”為真命題．

（2）逆命題為：如果

OP

•

PS

=1，那么直線l₁過點T（-1，0）．逆命題也為真命題，以下給出證明：
設S（-3，t），P（x₀，y₀）（y₀≠0），則

PS

=(-3-x0，t-y0)，
∵

OP

•

PS

=1，∴-3x₀-x₀²+ty₀-y₀²=1，又x₀²+y₀²=2，
∴t=

3+3x0

y0

．當x₀=-1時，直線l₁的方程為x=-1，顯然過點（-1，0）；
當x₀≠-1時，直線OS的斜率k=

x0+1

-y0

，∴直線l₁的方程為y-y₀=

y0

x0+1

(x-x0)，令y=0，得x=-1，
∴直線l₁過定點（-1，0）．綜上，直線l₁恒過定點（-1，0）．

點評：本題考查直線和圓相交的性質，四種命題的真假關系，兩個向量的數量積的運算以及求兩直線交點的坐標．