Question

已知橢圓C：，點A，F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是圓O：x²+y²=b²上的動點．若是常數，則橢圓C的離心率是________．

Answer 1

分析：設F（c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得是常數，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]比較兩邊可得c，a的關系，結合橢圓的離心率的范圍可求．
解答：設F（c，0），c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁），使得是常數，
設=，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（x，λ是常數）
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），
比較兩邊，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，
∴（e-1）（e²+e-1）=0，
∴e=1或e=
∵0＜e＜1，∴e=
故答案為：．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，主要考查橢圓的離心率，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．