Question

已知,橢圓C以過點A(1,),兩個焦點為(-1,0)(1,0)｡

(1)求橢圓C的方程;

(2)E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值｡ 

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ) ；(Ⅱ)直線EF的斜率為定值,其值為｡

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的右焦點，根據以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線x+ y+3=0相切，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；

（2）設直線AE方程代入橢圓方程，利用點A(1，)在橢圓上，可求E的坐標，利用直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，可求F的坐標，從而可得直線EF的斜率，問題得解．

解:(Ⅰ)由題意,c=1,可設橢圓方程為｡

因為A在橢圓上,所以,解得=3,=(舍去)｡

所以橢圓方程為   ----------------------5分

(Ⅱ)設直線AE方程:得,代入得

設E(,),F(,).因為點A(1,)在橢圓上,所以

,

｡

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數,在上式中以代,可得

,

｡

所以直線EF的斜率｡

即直線EF的斜率為定值,其值為｡ ---------------------12分

考點：本題主要考查了橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線斜率的求解，屬于中檔題。

點評：解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，確定點的坐標，然后結合已知中斜率的關系史得到結論。