Question

【題目】設(shè)為任意給定的質(zhì)數(shù).證明：一定存在質(zhì)數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，數(shù)都不能被整除.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

要找的質(zhì)數(shù)僅和有關(guān)，與無(wú)關(guān)，所以，對(duì)任意的正整數(shù)，若則.也就是說(shuō)，若，則.

這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為選取適當(dāng)?shù)?/span>，代替來(lái)討論.

最簡(jiǎn)單的選擇是取.先對(duì)此進(jìn)行試探性討論.有

.

如果找到的質(zhì)因數(shù)，能使得對(duì)任意的整數(shù)，都不能被整除，那么，就解決了本題.

對(duì)的質(zhì)因數(shù)，可分為兩類：

（1）不能被整除.對(duì)這些就有，因而，.

（2）被整除.此時(shí)，希望對(duì)所選取的的質(zhì)因數(shù)加上進(jìn)一步可實(shí)現(xiàn)的條件，能有.

假定這樣的存在，取質(zhì)數(shù).若存在某個(gè)，使得，則.由此及推出.其中，.

注意到，，或.

如果取得到質(zhì)數(shù)，使得，即，則必有.

如果再要求，則有

.

這就滿足本題的要求.

由以上分析知，只要存在質(zhì)數(shù)q滿足條件：

（i）.，（ii），及（iii）.這樣的質(zhì)數(shù)就滿足本題的要求.

下面具體來(lái)找這樣的質(zhì)數(shù).

由前兩個(gè)條件啟發(fā)，考慮

的質(zhì)因數(shù).

顯見，這樣的不等于.

若，則由此及

，

推出.矛盾.

所以，滿足條件（i）和（ii）.

又，

所以，必有一個(gè)質(zhì)因數(shù)，使得，即這樣的滿足條件（iii）.