Question

有對稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設直徑所在直線的斜率存在）.

定理：過圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1．

    （Ⅰ）寫出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明；

     （Ⅱ）寫出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結論嗎？請寫出你的結論.

Answer 1

解：（Ⅰ）設直徑的兩個端點分別為A、B,由橢圓的對稱性可得,A、B關于中心O（0,0）對稱,所以A、B點的坐標分別為A（,B（.

P（上橢圓上任意一點,顯然,

因為A、B、P三點都在橢圓上,所以有

, ①

,  ②.

而,

由①－②得：.

所以該定理在橢圓中的推廣為：過橢圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值.

   （Ⅱ）在雙曲線中的推廣為：過雙曲線上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值

       該定理在有心圓錐曲線中的推廣應為：過有心圓錐曲線上異于 直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值－