Question

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑．定理：如果圓x²+y²=r²（r＞0）上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1．寫出該定理在有心曲線

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)中的推廣

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線斜率乘積等于-

n

m

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，由圓的性質類比猜想有心曲線的性質，一般的思路是：點到點，線到線，直徑到直徑等類比后的結論應該為關于有心曲線的一個結論．

解答：解：定理：如果圓x²+y²=r²（r＞0）上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1．
運用類比推理，寫出該定理在有心曲線

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)中的推廣：

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線斜率乘積等于-

n

m

．
故答案為：

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線斜率乘積等于-

n

m

．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．