Question

【題目】如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠B=60°，將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，角的兩邊所在的兩直線分別交線段AB、AD于點E、F（不包括線段的端點）．

（1）問題發現：
如圖1，若平行四邊形ABCD為菱形，
試猜想線段AE、AF、AC之間的數量關系 ，請證明你的猜想．

（2）類比探究：
如圖2，若AB：AD=1：2，過點C作CH⊥AD于點H，求AE：FH的比值；
（3）拓展延伸：
如圖3，若AB：AD=1：4，請直接寫出（AE+4AF）：AC的比值為 .

Answer 1

【答案】
（1）

AE+AF=AC

解：AE+AF=AC，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中， ，

∴△BCE≌△ACF（ASA）．

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC；

故答案為：AE+AF=AC．

（2）

解設DH=x，由題意，CD=2x，CH= x，

∴AD=2AB=4x，

∴AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC= =2 x，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠HCF=∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴AE：FH=AC：CH=2：1．

（3）

解：如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．

∵∠ECF+∠EAF=180°，

∴∠AEC+∠AFC=180°，

∵∠AFC+∠CFN=180°，

∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，

∴△CFN∽△CEM，

∴ ，

∵ABCM=ADCN，AB：AD=1：4，

∴CM=4CN，

∴ = ，

設CN=a，FN=b，則CM=4a，EM=4b，

∵∠MAH=60°，∠M=90°，

∴∠AHM=∠CHN=30°，

∴HC=2a，HM=2a，HN= a，

∴AM= HM= a，AH=2AM= a，

∴AC= = a，

AE+4AF=（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN=4AH+4HN﹣AM= a，

∴ = = ；

故答案為： ．

【解析】（1）①先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題．②根據①的結論得到BE=AF，由此即可證明．（2）設DH=x，由題意，CD=2x，CH= x，由△ACE∽△HCF，得 由此即可證明．（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．先證明△CFN∽△CEM，得出 ，由ABCM=ADCN，AD：AD=1：4，推出CM=4CN，得出 = ，設CN=a，FN=b，則CM=4a，EM=4b，再求出AC，AE+4AF，即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和菱形的性質，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．