Question

【題目】如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜6），并求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？
（3）試探究：在上述運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC的 ？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（6，4）；（t， t）
（2）

解：∵S△OMP= ×OM× t，

∴S= ×（6﹣t）× t=﹣ t2+2t=﹣ （t﹣3）2+3（0＜t＜6）．

∴當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值．

（3）

解：存在．理由如下：

由（2）得，當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：y= x．

設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣ x+b，

解方程組 得 ，

∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為（ ， ），

∵S△OCN= ×4×3=6，

∴S△ORT= S△OCN=2，

①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí)，分割出的三角形是△OR1T1，

如圖2所示，作R1D1⊥y軸，D1為垂足，則S△OR1T1= RD1OT= b=2．

∴3b2﹣4b﹣16=0，

解得：b= （負(fù)值舍去）．

∴b= ，

此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為（0， ）．

②當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分割出的三角形是△R2NE，如圖，設(shè)MT交CN于點(diǎn)E，

由①得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為 ，作R2D2⊥CN交CN于點(diǎn)D2，則

S△R2NE= ENR2D2= （3﹣ ）（4﹣ = =2．

∴b2+4b﹣48=0，

解得：b=±2 ﹣2（負(fù)值舍去）．

∴b=2 ﹣2．

∴此時(shí)點(diǎn)T2的坐標(biāo)為（0，2 ）．

綜上所述，在y軸上存在點(diǎn)T1（0， ），T2（0，2 ﹣2）符合條件．

【解析】解：（1）延長(zhǎng)NP交OA于H，如圖1所示：
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）；
由圖可得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=0H=CN=t，縱坐標(biāo)=4﹣NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6﹣t）：6，
∴NP=4﹣ t，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=4﹣NP= t，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t， t）；
所以答案是：（6，4）；（t， t）；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．