【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，且兩焦點的距離為
，橢圓上一點與兩焦點構成的三角形的周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的直線交橢圓于
、
兩點，若
，求直線
的方程.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】
（1）設橢圓
的標準方程為
，焦距為
，根據題意可得
、
，可計算出
的值，進而可得出橢圓的標準方程；
（2）由題意可知，直線
不能與
軸垂直，設直線的方程為
，設點
、
，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由
，得出
，利用平面向量數量積的坐標運算結合韋達定理求出實數
的值，即可得出直線的方程.
（1）設橢圓的標準方程為，焦距為，
由題意可得
，解得
，
，
因此，橢圓的標準方程為；
（2）由題意可知，直線不能與軸垂直，
設直線的方程為，設點、，
將直線的方程與橢圓的標準方程聯立
，
消去
并整理得
，
由
，解得
或
.
由韋達定理得
，
，
，則，且
，同理
，
，解得
，滿足
.
綜上所述，直線的方程為或.
靈星計算小達人系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的空間幾何體中，平面
平面
與
都是邊長為2的等邊三角形，
與平面
所成的角為60°，且點
在平面
上的射影落在
的平分線上.
（1）求證：
平面；
(2)求四面體
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓與圓
相切，且與圓
相內切，記圓心的軌跡為曲線.
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設Q為曲線C上的一個不在軸上的動點，O為坐標原點，過點
作OQ的平行線交曲線C于M,N兩個不同的點, 求△QMN面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節檔上影，該片上影標志著中國電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續百代子孫生存的希望，無數的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進．某網絡調查機構調查了大量觀眾的評分，得到如下統計表：
（1）求觀眾評分的平均數？
（2）視頻率為概率，若在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取1人，他的評分恰好是10分的概率是多少？
（3）視頻率為概率，在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取4人，用
表示評分為10分的人數，求的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】重慶一中將要舉行校園歌手大賽，現有3男3女參加，需要安排他們的出場順序．（結果用數字作答）
（1）如果3個女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場順序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相鄰），那么有多少種不同的出場順序？
（3）如果3位男生都相鄰，且女生甲不在第一個出場，那么有多少種不同的出場順序？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，
，BD＝2．
（1）若點E，F分別為線段PD，BC上的中點，求證：EF∥平面PAB；
（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．
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