Question

規(guī)定，其中x∈R，m是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣，
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①；②，
是否都能推廣到(x∈R，m是正整數(shù))的情形？若能推廣，請(qǐng)寫出推廣的形式，并給出明；若不能，則說(shuō)明理由；
(Ⅲ)已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，∈Z。

Answer 1

解：(Ⅰ)；
(Ⅱ)性質(zhì)①不能推廣．例如當(dāng)時(shí)，有定義，但無(wú)意義；
性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是，x∈R，m是正整數(shù)，
事實(shí)上當(dāng)m=1時(shí)，有，
當(dāng)m≥2時(shí)，


；
(Ⅲ)當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)；
當(dāng)0≤x＜m時(shí)，=0∈Z；
當(dāng)x＜0時(shí)，∵-x+m-1＞0，
∴

。