Question

一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

Answer 1

（1）∵動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切，
∴圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等
∴圓心軌跡M是以P（0，1）為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，
∴動圓圓心C的軌跡方程是x²=4y；
（2）②證明：設直線AB方程為：y=kx+b，
代入拋物線方程，消去y得：x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．
∵x₁x₂=-16，∴b=4．
∴直線AB過定點（0，4）；
②由拋物線定義知：|PA|=y₁+1，|PB|=y₂+1，
又y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16．
∴|PA|+|PB|=k（x₁+x₂）+10=4k²+10≥10（等號當k=0時成立），
∴所求|PA|+|PB|的取值范圍是[10，+∞）．