Question

已知二次函數的導函數的圖像與直線平行，且在處取得極小值.設.
（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；
（2）如何取值時，函數存在零點，并求出零點.

Answer 1

（1）或；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先設點的坐標，利用兩點間的距離公式將表示為為自變量的函數，利用基本不等式求出相應的最小值，然后列方程求出的值；（2）令，將函數的零點轉化為求方程的根，對首項系數的符號進行分類討論，以及在首項系數不為零時對的符號進行分類討論，從而確定函數在定義域上是否存在零點，并且在零點存在的前提下利用求根公式求出相應的零點值.
試題解析：（1）依題可設 ()，則；
又的圖像與直線平行        
， ，
設，則

當且僅當時，取得最小值，即取得最小值
當時，  解得 
當時，  解得
（2）由()，得  
當時，方程有一解，函數有一零點；
當時，方程有二解，
若，，
函數有兩個零點，即；
若，，
函數有兩個零點，即；
當時，方程有一解,  ,
函數有一零點
綜上，當時, 函數有一零點；
當()，或（）時，
函數有兩個零點；
當時，函數有一零點.