Question

19、在數列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．
（1）設b_n=a_n+2，求數列{b_n}的通項公式；
（2）{a_n}中是否存在不同的三項a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數列？若存在，求出p，q，r的關系；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知的兩個式子聯立便可求出b_n+1與b_n的關系，然后求出b₁ 的值便可求出數列{b_n}的通項公式；
（2）、不存在，根據數列{b_n}的通項公式可以求出{a_n}的通項公式，假設存在p，q，r滿足題中條件，代入{a_n}的通項公式可得1+2^r-p=2^q-p+1，由于1+2^r-p為奇數，而2^q-p+1為偶數，故不存在滿足條件的p，q，r．

解答：解：（1）b_n+1=a_n+1+2=（2a_n+2）+2=2（a_n+2）=2b_n，（2分）
又b₁=a₁+2=2，
所以，數列{b_n}是首項為2、公比為2的等比數列，（4分）
所以數列{b_n}的通項公式為b_n=2ⁿ．（6分）
（2）由（1）得a_n=2ⁿ-2．（7分）
假設{a_n}中是否存在不同的三項a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數列，
不妨設p＜q＜r，則（2^p-2）+（2^r-2）=2（2^q-2），（10分）
于是2^p+2^r=2^q+1，所以1+2^r-p=2^q-p+1．（12分）
因p，q，r∈N^*，且p＜q＜r，所以1+2^r-p是奇數，2^q-p+1是偶數，（14分）
1+2^r-p=2^q-p+1不可能成立，
所以不存在不同的三項a_p，a_q，a_r成等差數列．（16分）

點評：本題考查了等差數列和等比數列的基本性質和數列的遞推公式，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．