Question

已知等比數列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；數列{b_n}滿足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試確定t的值，使得數列{b_n}為等差數列；
（3）當{b_n}為等差數列時，對任意正整數k，在a_k與a_k+1之間插入2共b_k個，得到一個新數列{c_n}．設T_n是數列{c_n}的前n項和，試求滿足T_n=2c_m+1的所有正整數m的值．

Answer 1

解：（1）因為6a₃=8a₁+a₅，所以6q²=8+q⁴，
解得q²=4或q²=2（舍），則q=2
又a₁=2，所以a_n=2ⁿ
（2）由2n²-（t+b_n）n+b_n=0，得b_n=，
所以b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，
則由b₁+b₃=2b₂，得t=3
而當t=3時，b_n=2n，由b_n+1-b_n=2（常數）知此時數列{b_n}為等差數列；
（3）因為c₁=c₂=c₃=2，易知m=1不合題意，m=2適合題意
當m≥3時，若后添入的數2等于c_m+1個，則一定不適合題意，
從而c_m+1必是數列{a_n}中的某一項a_k+1，
則（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2×2^k+1，
即，即2^k+1-2k²-2k+2=0．
也就是2^k=k²+k-1，
易證k=1，2，3，4不是該方程的解，而當n≥5時，2ⁿ＞n²+n-1成立，證明如下：
1°當n=5時，2⁵=32，k²+k-1=29，左邊＞右邊成立；
2°假設n=k時，2^k＞k²+k-1成立，
當n=k+1時，2^k+1＞2k²+2k-2=（k+1）²+（k+1）-1+k²-k-3
≥（k+1）²+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）²+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）²+（k+1）-1
這就是說，當n=k+1時，結論成立．
由1°，2°可知，2ⁿ＞n²+n-1（n≥5）時恒成立，故2^k=k²+k-1無正整數解．
綜上可知，滿足題意的正整數僅有m=2．
分析：（1）由3a₃是8a₁與a₅的等差中項得到6a₃=8a₁+a₅，根據首項2和公比q，利用等比數列的通項公式化簡這個式子即可求出q的值，利用首項和公比即可得到通項公式；
（2）由2n²-（t+b_n）n+b_n=0解出b_n，列舉出b₁，b₂和b₃，要使數列{b_n}為等差數列，根據等差數列的性質可知b₁+b₃=2b₂，把b₁，b₂和b₃的值代入即可求出t的值；
（3）顯然c₁=c₂=c₃=2，容易判斷m=1時不合題意，m=2適合題意，當m大于等于3時，得到c_m+1必是數列{a_n}中的某一項a_k+1，然后根據T_n=2c_m+1列舉出各項，利用等差、等比數列的求和公式化簡后得到2^k=k²+k-1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用數學歸納法證明得到k大于等于5時方程沒有正整數解，所以得到滿足題意的m僅有一個解m=2．
點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質及等比數列的通項公式化簡求值，靈活運用數列解決實際問題，以及會利用數學歸納法進行證明，是一道比較難的題．