Question

如圖A₁（x₁，y₁）（y₁＜0）是拋物線y²=mx（m＞0）上的點，作點A₁關于x軸的對稱點B₁，過B₁作與拋物線在A₁處的切線平行的直線B₁A₂交拋物線于點A₂．
（1）若A₁（4，-4），求點A₂的坐標；
（2）若△A₁A₂B₁的面積為16，且在A₁，B₁兩點處的切線互相垂直．
①求拋物線方程；
②作A₂關于x軸的對稱點B₂，過B₂作與拋物線在A₂處的切線平行的直線B₂A₃，交拋物線于點A₃，…，如此繼續下去，得一系列點A₄，A₅，…，設A_n（x_n，y_n），求滿足x_n≥10000x₁的最小自然數n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A₁（4，-4）在拋物線上代入可求m，設出A₂（x₂，-2x₂），對函數y=-求導根據導數的幾何意義可求x₂，即可求解A₂．
（2）①設A₁，B₁處切線的斜率分別為K₁，K₂，容易得出K₁•K₂=-1，代入點的坐標即可得到m與x₁ 的方程，再設A₂，結合已知又可得x₂，x₁的關系，代入三角形的面積公式中即可可求知x₁，m，從而可求拋物線方程
②由題意可求x_n與x_n-1的遞推關系，結合等比數列的通項公式可求n的最小值
解答：解：（1）若A₁（4，-4）在拋物線上
∴16=4m
∴m=4，
設A₂（x₂，-2x₂），y=-，y′=-，B（4，4）
∴=
∴x₂=36
∴A₂（36，-12）…．…．…（3分）
（2）①設A₁，B₁處切線的斜率分別為K₁，K₂，K₁•K₂=-1
∴（-）.=-1
∴m=4x_{1 ①}
設A₂（x₂，-）
∴=-
∴x₂=9x_{1 ②}
又S=×2（x₂-x₁）=16 ③由①②③知x₁=1，m=4
∴拋物線方程為y²=4x…..…（6分）
②由（2）知=-，
∴x_n=9x_n-1，
∴數列{x_n}為等比數列，
∴x₁9^n-1≥10000x₁
∴n≥6∴n最小值為6…（10分）
點評：本題主要考查了由拋物線的性質求解拋物線的方程，還考查了一定的邏輯推理與運算的能力