Question

如圖，P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(0＜y₁＜y₂＜…＜y_n，n∈N*)是曲線C：y²=3x(y≥0)上的n個點，點A_i(a_i，0)(i=1，2，3，…，n)在x軸的正半軸上，△A_i-1A_iP_i是正三角形(A₀是坐標原點)，
(1)求a₁，a₂，a₃；
(2)求出點A_n(a_n，0)(n∈N*)的橫坐標a_n關于n的表達式；
(3)設，若對任意正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式t²-mt+＞b_n恒成立，求實數t的取值范圍。

Answer 1

解：(1)a₁=2，a₂=6，a₃=12；
(2)依題意A_n(a_n，0)，，
則，
在正三角形中，有，
∴，
∴，
∴，①
同理可得，②
②-①并變形得，
，
∴，
∴，
∴數列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=4為首項，公差為2的等差數列，
∴，
∴
，
∴。
(3)，
∴，
∴

，
∵當n∈N*時，上式恒為負值，
∴當n∈N*時，b_n+1＜b_n，
∴數列{b_n}是遞減數列，
∴b_n的最大值為，
若對任意正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式恒成立，
則不等式在m∈[-1，1]時恒成立，
即不等式t²-2mt＞0在m∈[-1，1]時恒成立，
設f(m)=t²-2mt，則f(1)＞0且f(-1)＞0，
∴，解之，得t＜-2或t＞2，
即t的取值范圍是(-∞，-2)∪(2，+∞)。