Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（2）當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：解法一（幾何法）（1）由已知中AC=BC，D是AB的中點，由等腰三角形三線合一，可得CD⊥AB，又由VC⊥底面ABC，由線面垂直的性質可得VC⊥AB，結合線面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）過點C在平面VCD內作CH⊥VD于H，連接BH，可得∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角，設∠CBH=φ，根據=asinφ，易得到直線BC與平面VAB所成角的取值范圍．
解法二（向量法）（1）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分析求出，，易得根據向量數量積為0，得到CD⊥AB，VC⊥AB，結合線面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）令直線BC與平面VAB所成的角為φ，求出平面VAB的一個法向量和，由向量夾角公式，易得到，進而得到直線BC與平面VAB所成角的取值范圍．
解答：解：法一（幾何法）：
證明：（1）∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又D是AB的中點∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
解：（2）過點C在平面VCD內作CH⊥VD于H，連接BH
則由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．
在Rt△CHD中，CD=，；
設∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴∵∴0＜sinθ＜1，
又，∴
即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為．
法二（向量法）：
證明：（1）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
于是，，，．
從而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．
解：（2）設直線BC與平面VAB所成的角為φ，平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z），
則由．
得
可取，又，
于是，
∵，∴0＜sinθ＜1，．
又，∴．
即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中方法一（幾何法）的關鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化，方法二（向量法）的關鍵是建立空間坐標系，將空間線線關系、線面夾角轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．