Question

命題：
（1）若f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數，其定義域是[a-1，2a]，則f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)是減函數．
（2）如果一個數列{a_n}的前n項和Sn=abn+c，(a≠0，b≠1，c≠1)則此數列是等比數列的充要條件是a+c=0．
（3）曲線y=x³+x+1過點（1，3）處的切線方程為：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=a^x+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一個子集．則k＜1．
以上四個命題中，正確命題的序號是

（1）（2）

．

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義和二次函數單調性的結論，得到（1）正確；根據等比數列的通項與性質，結合已知S_n求的a_n方法，通過正反論證可得（2）正確；曲線y=x³+x+1過點（1，3）處的切線方程為：4x-y-1=0或7x-4y+3=0，故（3）不正確；p∩Q只有一個子集，說明p∩Q是空集，集合Q中，y=a^x+1＞1，（a＞0且a≠1）故k≤1時，P∩Q=∅，故（4）不正確．

解答：解：（1）∵偶函數的定義域關于原點對稱，
∴a-1+2a=0，a=

1

3

，
∵f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數，∴b=0，
∴f（x）=

1

3

x2+1，
∴f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)是減函數，故（1）正確；
（2）數列{a_n}的前n項和S_n=abⁿ+c，
可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1），
當n=1時，a₁=S₁=ab+c，
接下來討論充分性與必要性，
若a+c=0，則ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得數列的通項為a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1，
∴數列{a_n}構成以a（b-1）為首項，公比為b的等比數列．故充分性成立；
反之，若此數列是等比數列，得
∵當n≥2時，a_n=ab^n-1（b-1），公比為b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc⇒b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，說明（2）正確；
（3）∵y=x³+x+1，∴y′=3x²+1，
∴y=x³+x+1在（x0，x03+x0+1）處的切線方程為：
y-x03-x0-1=（3x02+1）（x-x₀），
∵點（1，3）在切線上，
∴3-x03-x0-1=（3x02+1）（1-x₀），
解得x0=

1

2

，或x₀=1，
∴曲線y=x³+x+1過點（1，3）處的切線方程為：4x-y-1=0或7x-4y+3=0，故（3）不正確；
（4）p∩Q只有一個子集，說明p∩Q是空集，
集合Q中，y=a^x+1＞1，（a＞0且a≠1）
故k≤1時，P∩Q=∅，故（4）不正確．
故答案為：（1）（2）．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意函數性質、等比數列、切線方程、集合等知識點的靈活運用．