Question

給出下列六個命題：
（1）若f（x-1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
（2） y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱．
（3）y=f（x+3）的反函數(shù)與y=f^-1（x+3）是相同的函數(shù)．
（4）y=(

1

2

)|x|-sin2x+2009無最大值也無最小值．
（5）y=

2tanx

1-tan2x

的周期為π
（6）y=sinx（0≤x≤2π）有對稱軸兩條，對稱中心三個．
則正確命題的個數(shù)是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、0個

Answer 1

分析：（1）（2）（3）考查抽象函數(shù)的對稱性，可以采用特殊函數(shù)進行驗證，
（4）先化簡，可以看出(

1

2

)|x| ≤1，

1

2

cos2x≤

1

2

，可考慮最大值；
（5）化為y=tan2x，周期可求；（6）注意定義域，可結(jié)合圖象進行判斷．

解答：解：（1）f（x-1）=f（1-x）?f（x-1）=f（-（x-1）），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，命題錯誤
（2）取f（x）=x-1，則f（x-1）=x-2，f（1-x）=-x，圖象不關(guān)于直線x=0對稱，命題錯誤
（3）取f（x）=x-1，y=f（x+3）=x+2，y=f^-1（x）=x+1，y=f^-1（x+3）=x+4，命題錯誤．
（4）y=(

1

2

)|x|-sin2x+2009=(

1

2

)|x| -

1-cos2x

2

+2009=(

1

2

)|x|+

1

2

cos2x+2009 -

1

2

∵(

1

2

)|x| ≤1，

1

2

cos2x≤

1

2

，且x=0時同時取等號，∴x=0時，y有最大值，所以命題錯誤．
（5）原函數(shù)可化為y=tan2x，周期為

π

2

，命題錯誤．
（6）受0≤x≤2π的影響，y=sinx只有一個對稱中心．
故選D

點評：本題考查抽象函數(shù)和具體函數(shù)的性質(zhì)，問題綜合性強．