Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）= x3+ax（a∈R），且曲線f（x）在x= 處的切線與直線y=﹣ x﹣1平行．
（Ⅰ）求a的值及函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）﹣m在區間[﹣3， ]上有三個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當x＞0時，f′（x）=x2+a， 因為曲線f（x）在x= 處的切線與直線y=﹣ x﹣1平行，
所以f′（ ）= +a=﹣ ，解得a=﹣1，
所以f（x）= x3﹣x，
設x＜0則f（x）=﹣f（﹣x）= x3﹣x，
又f（0）=0，所以f（x）= x3﹣x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）= ，f（1）=﹣ ，f（ ）=0，
所以函數y=f（x）﹣m在區間[﹣3， ]上有三個零點，
等價于函數f（x）在[﹣3， ]上的圖象與y=m有三個公共點．
結合函數f（x）在區間[﹣3， ]上大致圖象可知，實數m的取值范圍是（﹣ ，0）．

【解析】（Ⅰ）首先求得導函數，然后利用導數的幾何意義結合兩直線平行的關系求得a的值，由此求得函數f（x）的解析式；（Ⅱ）將問題轉化為函數f（x）的圖象與y=m有三個公共點，由此結合圖象求得m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本求導法則的相關知識，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導．