Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式，并利用定義證明證明其在該區(qū)間上的單調(diào)性；

（3）解關(guān)于的不等式.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；詳見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)是定義在上的奇函數(shù)及時(shí)的解析式即可得出，并可求出，從而可得出，求出；（2）根據(jù)上面知，時(shí)，，從而可設(shè)，從而得出，從而得出時(shí)，，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷在上的單調(diào)性.（3）不等式等價(jià)于，即，解不等式組即得解.

（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，

，即，，

又因?yàn)?/span>（2），所以（2），

即，所以，

綜上可知，.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)是奇函數(shù)，

，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，

任取，，且，則，

，，且，

，，，

于是，即，

故在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；

（3）是定義在上的奇函數(shù)，且，

，且在上是增函數(shù)，

，解得，

原不等式的解集為．