Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
（1）若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）求二面角A-BC-P的大小；
（4）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）證明BG⊥AD，通過平面與平面垂直的性質，即可證明BG⊥平面PAD．
（2）連接PG，證明PG⊥AD，通過BG⊥AD，證明AD⊥平面PGB，然后證明AD⊥PB．
（3）證明∠PBG為二面角A-BC-P的平面角，即可得到結論；
（4）當F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：取PC 的中點F，連接DE、EF、DF，
通過證明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可證明平面DEF⊥平面ABCD．

解答：（1）證明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BG⊥平面PAD．
（2）證明：連接PG，因為△PAD為正三角形，G為AD邊的中點，
得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因為PB?平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：由（2）知，PG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．
因為BG⊥AD，所以BG⊥BC，
所以∠PBG為二面角A-BC-P的平面角
因為PG=BG=

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a，所以∠PBG=45°；
（4）解：當F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：
取PC 的中點F，連接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因為BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因為PG⊥AD，AD∩BG=G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．

點評：本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的證明，考查空間角，考查空間想象能力，邏輯推理能力．